Informační systém Vysoké školy polytechnické Jihlava
IS VŠPJ
Základy lineární algebry
Studijní plán: Aplikovaná technika pro průmyslovou praxi - kombi, platný od ZS 2020/2021
| Předmět | Základy lineární algebry (ZLA) |
|---|---|
| Garantuje | Katedra matematiky (KM) |
| Garant | doc. RNDr. Petr Gurka, CSc. |
| Jazyk | česky |
| Počet kreditů | 5 |
| Předmět je prerekvizitou pro |
| Prezenční studium | |
|---|---|
| Přednáška | 2 h |
| Cvičení | 2 h |
| Kombinované studium | |
| Tutoriál / přednáška | 6 h |
| Cvičení | 8 h |
Sylabus
- Množina komplexních čísel: algebraické operace, absolutní hodnota, různé typy zápisu, mocniny a odmocniny.
- Polynomy, racionální lomené funkce: nulové body polynomu, Hornerovo schéma, rozklady polynomů a racionálních lomených funkcí.
- Soustava lineárních rovnic: maticový zápis, vektorový zápis. Lineární závislost a nezávislost aritmetických vektorů, hodnost matice, Gaussův algoritmus.
- Soustavy lineárních rovnic s obecnou maticí: homogenní soustavy, nehomogenní soustavy, Frobeniova věta. Gaussův a Jordanův algoritmus
- Operace s maticemi: násobek matice, součet matic, součin matic, jednotková matice. Inverzní matice. Maticové rovnice.
- Determinanty: definice, výpočet determinantů různými metodami (rozvojem, eliminací), vlastnosti determinantů.
- Soustavy lineárních rovnic s regulární maticí: řešení soustav pomocí inverzní matice, Cramerovým pravidlem.
- Lineární prostor: lineární podprostor, lineární obal, báze a dimenze podprostoru. Lineární prostor funkcí: lineární nezávislost funkcí, podprostor polynomů.
- Lineární prostor se skalárním součinem: ortogonalita vektorů, ortogonální doplněk, Gramova-Schmidtova ortogonalizace.
- Lineární zobrazení: reprezentace lineárního zobrazení mezi prostory konečné dimenze, matice přechodu, podobnost matic.
- Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Jordanův kanonický tvar matice.
- Kvadratické formy: reprezentace kvadratické formy symetrickou maticí, kritéria definitnosti kvadratických forem.
- Afinní podprostory: vzájemná poloha afinních podprostorů, parametrický a rovnicový zápis afinního podprostoru.
Doporučená literatura
- GURKA, P., Základy lineární algebry pro techmické obory, skripta, 2023.
- DVOŘÁKOVÁ, S., BORŮVKOVÁ, J., Lineární algebra — příklady, skripta VŠPJ, 2016.
- BICAN, L., Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9.
- MEYER, C., Matrix analysis and applied linear algebra. Society for Industrial and
Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2000. With 1 CD-ROM (Windows,
Macintosh and UNIX) and a solutions manual (iv+171 pp.), ISBN 0-89871-454-0 - VELEBIL, J., Abstraktní a konkrétní lineární algebra, skripta FEL ČVUT, Praha, 2019.
- OLŠÁK, P., Lineární algebra, skripta FEL ČVUT, Praha 2007.
Anotace
Cíle: Cílem kurzu je poskytnout studentům základní vědomosti z lineární algebry. Studenti si osvojí základní pojmy související s lineárními prostory, maticovým počtem a soustavami lineárních algebraických rovnic. Studenti se naučí rozpoznávat lineární závislost vektorů, provádět maticové operace, zjistit řešitelnost a řešit soustavy lineárních algebraických rovnic, nalézt vlastní čísla matic a další související operace. Součástí kurzu je rozpoznávání typů kvadratických forem a drobná exkurze do analytické geometrie. Přednášky jsou zaměřeny na výklad základních pojmů v souvislostech s různými oblastmi užití. Na cvičeních jsou procvičována jednotlivá témata na příkladech.
Znalosti: Student zná význam, vlastnosti a vztahy mezi základními pojmy lineární algebry jako lineární prostor, vektor, matice, soustava lineárních rovnic a její řešení, vlastní číslo matice, kvadratická forma a další související pojmy.
Dovednosti: Student rozumí obecným pojmům lineární algebry a zvládne základní výpočty: posouzení lineární závislosti vektorů, zjištění dimenze a báze lineárního prostoru a podprostoru, posouzení regulárnosti matice, řešení soustavy lineárních rovnic, řešení maticových rovnic, nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů matic a určení typu kvadratických forem.
Obecné způsobilosti: Student zvládne řešit základní úlohy lineární algebry. Student je v tomto směru připraven pro studium některých oblastí navazujících předmětů, jako Matematika 1 a 2 a dále předmětů, které se zaměřují na lineární programování, optimalizační metody, maticové výpočty ve statistice a v úlohách elektrotechnické teorie a praxe.